By Rüdiger Seydel

In jüngster Zeit haben Finanz-Derivate eine starke Verbreitung erfahren. Das vorliegende Lehrbuch bietet eine elementare Einführung in diejenigen Methoden der Numerik und des Wissenschaftichen Rechnens, die insbesondere für die Berechung von Optionspreisen grundlegend sind. Nach einer kurzen Beschreibung der Modellierung von Standard-Optionen folgt als erster Hauptteil die numerische Simulation der Stochastik mit der Berechnung von Zufallszahlen, der Integration von stochastischen Differentialgleichungen und dem Einsatz von Monte-Carlo-Verfahren. Der zweite Hauptteil konzentriert sich auf die Numerik zu den Black-Scholes Ansätzen mit partiellen Differential-Gleichungen und -Ungleichungen. Dabei werden Lösungsalgorithmen von Differenzenverfahren und von Finite-Element-Verfahren erklärt. Übungsaufgaben, instruktive Abbildungen sowie themenbezogene Anhänge runden das Buch ab. Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben werden unter http://www.mi.uni-koeln.de/numerik/compfin/ bereitgestellt.

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Example text

C) Man transformiere die Randbedingungen und die Endbedingung der Black-Scholes-Gleichung entsprechend.

2 Transformierte Zufallsvariable 43 so dass nur noeh x = G(u) auszuwertell ist. Bei der Konstruktion von Gist zu berueksiehtigen, dass F- 1 (n) bei 11 = 1 und 71. = 0 senkreehte Tangentcn hat. Die Wiherungsfunktion G muss dieses Polverhalten korrekt wiedergeben. 5). e Erfolge beseheinigt; bei einer rationalen Approximation mit geniigend vielen Termen konnen hohe Genauigkeiten erreicht werden [Mo95]. u -+-----==== _____=-r----~ u=F(x) 112 I I I I I I 1 I ! ---- I ---i--,---i-----~-~ x Fig. 4. Kleine Anderungen in u konnen grof3e Anderungen in x bewirken.

M : ai := ai-l + (Ji :=(3i-l+ Xi - ai-l . 7 (i - l)(xi - ai_t)2 . z a) Man zeige: x = aM, s~[ = t~l. b) Fur den i-ten update im Algorithmus fuhre man eine Rundungsfehleranalyse durch. Wie ist der Algorithmus zu beurteilen? 5 Implementierung der Binomial-Methode Man entwerfe und implementiere einen Algorithmus zur Berechnung des Wertes V einer europaischen oder amerikanischen Option. 4. INPUT: r (Zinssatz), a (Volatilitat), T (Laufzeit in Jahren), E (strike price), S (Kurs), sowie die Wahlmoglichkeiten Put oder Call, und europaisch oder amerikanisch.

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